MATLAB 集成（Integration）

集成处理两种本质上不同的问题。

• 在第一种类型中，给出了函数的导数，我们想找到函数。因此，我们从根本上扭转了分化的过程。这种反向过程称为反微分，或者找到原始函数，或者找到indefinite integral。

• 第二类问题涉及相加大量非常小的数量，然后随着数量的大小接近零而取一个极限，而项的数量趋于无穷大。此过程导致的定义definite integral。

定积分用于查找面积，体积，重心，惯性矩，力完成的功以及许多其他应用。

使用MATLAB查找不定积分

根据定义，如果函数的导数f(x)是f'(x)，那么我们说f'(x)相对于x的不定积分是f(x)。例如，由于x ²的导数（相对于x）为2x，因此可以说2x的不定积分为x ²。

在符号中-

f'(x²) = 2x， 所以，

∫ 2xdx = x².

不定积分不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x ² + c的导数也将是2x。

这用符号表示为-

∫ 2xdx = x² + c。

其中，c被称为“任意常数”。

MATLAB提供了int用于计算表达式积分的命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式，我们写：

int(f);

例如，从我们之前的示例中-

syms x 
int(2*x)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =
   x^2

实例1

在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

运行文件时，它显示以下结果-

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

实例2

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

请注意，pretty函数以更易读的格式返回表达式。

运行文件时，它显示以下结果-

ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

使用MATLAB查找定积分

根据定义，定积分基本上是总和的极限。我们使用定积分来查找面积，例如曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。在其他情况下也可以使用定积分，在这种情况下，所需数量可以表示为总和的极限。

int通过传递要计算积分的极限，该函数可用于确定积分。

计算

我们写，

int(x, a, b)

例如，要计算值，我们写：

int(x, 4, 9)

MATLAB执行上述语句并返回以下结果-

ans =
   65/2

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area: 

   32.500

可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area: 
   32.500

实例1

让我们计算在x轴和曲线y = x ³ -2x + 5以及纵坐标x = 1和x = 2之间所包围的面积。

所需面积由下式给出：

创建一个脚本文件并输入以下代码-

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

运行文件时，它显示以下结果-

a =
23/4
Area: 
   5.7500

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area: 

   5.7500

可以使用quad()Octave提供的功能给出代替解决方案，如下所示：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octave执行代码并返回以下结果-

Area: 
   5.7500

实例2

找出曲线下的面积：   f(x)= x ² cos(x)表示−4≤x≤9。

创建一个脚本文件并编写以下代码-

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

运行文件时，MATLAB绘制图形-

输出如下-

a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326

以下是上述计算的Octave等效-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));